数論基礎（前期2単位）

教授　有田 正剛

１．授業のねらい・到達目標

この授業では、暗号技術をモチベーションとして数論の基礎を学ぶ。まず、第一部では合同式、ユークリッドの互除法、オイラーの定理などの古典的な数論を学ぶ。つぎに、第二部で、アーベル群や可換環、有限体などの抽象的代数学を用いることで、それら古典的な内容が一般化され、より広い現象に適用できることを見る。さらに、第三部では、格子暗号の基礎となる、格子の数学を学ぶ。本科目を学ぶことにより、暗号技術を理解するのに必要な数論的知識を習得すること、抽象的代数学の概念を理解すること、暗号実装に必要な基本的な数論アルゴリズムを習得すること、また数学的方法論（定義、ステートメント、証明）を身につけることができる。

２．授業計画

1. 古典的整数論
   1. 合同式、合同方程式（第1回〜第2回）
   2. ユークリッドの互除法（第3回）
   3. フェルマーの定理、オイラーの定理（第4回〜第5回）
2. 抽象的代数学
   1. アーベル群、部分群、商群（第6回〜第7回）
   2. 準同型定理（第8回）
   3. 可換環、有限体（第9回〜第10回）
3. 格子の数学
   1. 格子の定義、基底、ノルム（第11回〜第12回）
   2. 逐次最小、Minkowskiの不等式 （第13回）
   3. Gram-Schmidt直交化、LLLアルゴリズム（第14回〜第15回）

３．教科書

特に指定しない。

４．参考書

1. 高木貞治、「初等整数論講義」、共立出版
2. Victor Shoup、"A Computational Introduction To Number Theory And Algebra"、Cambridge Univ.
3. Jeffrey Hoffstein, Jill Pipher, J.H. Silverman, "An Introduction to Mathematical Cryptography", Springer New York.

５．関連科目

アルゴリズム基礎、暗号・認証と社会制度、暗号プロトコル、計算代数、暗号理論と関連がある。

６．成績評価の方法

期末レポートにより評価する（100％）。
到達目標を充足しているかどうかを評価の基準とする。

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